Pragati Educare

 યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ' નામ જ દર્શાવે છે કે તેને પૂર્ણાંકોની વિભાજ્યતા સાથે કંઈક સંબંધ છે. સરળ ભાષામાં કહીએ, તો કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક ને બીજા કોઈ ધન પૂર્ણાંક b વડે ભાગવામાં આવે તો અરૃણ શેષ r વધે અને તે b કરતાં નાની હોય. તમારામાંથી મોટા ભાગના અભ્યાસાર્થી કદાચ ભાગાકારને સ્વાભાવિક લાંબી પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખતા હશે. જોકે આ પરિણામ ખૂબ જ સરળતાથી દર્શાવી અને સમજી શકાય છતાં પૂર્ણાંકોની વિભાજ્યતાનો ગુણધર્મો-સંબંધી ઘણા બધા ઉપયોગો છે. આપણે તેમાંના કેટલાકને સમજીશું અને તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે બે ધન પૂર્ણાંકોના ગુ.સા.અ. શોધવા માટે કરીશું.

યુક્લિડની ભાગપ્રવિધિ' નામ જ દર્શાવે છે કે તેને પૂર્ણાંકોની વિભાજ્યતા સાથે કંઈક સંબંધ છે. સરળ ભાષામાં કહીએ, તો કોઈ પણ ધન પૂર્ણાંક ને બીજા કોઈ ધન પૂર્ણાંક b વડે ભાગવામાં આવે તો અરૃણ શેષ r વધે અને તે b કરતાં નાની હોય. તમારામાંથી મોટા ભાગના અભ્યાસાર્થી કદાચ ભાગાકારને સ્વાભાવિક લાંબી પ્રક્રિયા તરીકે ઓળખતા હશે. જોકે આ પરિણામ ખૂબ જ સરળતાથી દર્શાવી અને સમજી શકાય છતાં પૂર્ણાંકોની વિભાજ્યતાનો ગુણધર્મો-સંબંધી ઘણા બધા ઉપયોગો છે. આપણે તેમાંના કેટલાકને સમજીશું અને તેનો ઉપયોગ મુખ્યત્વે બે ધન પૂર્ણાંકોના ગુ.સા.અ. શોધવા માટે કરીશું.

 

આમ, N = {1, 2, 3, 4, ...}.

 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને ધન પૂર્ણાંકો પણ કહે છે.

 પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં (શૂન્ય)નો સમાવેશ કરવાથી આપણને પૂર્ણ સંખ્યાઓ મળે છે. પૂર્ણ સંખ્યાઓના સમૂહને W દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, W = {0, 1, 2, 3, ...}.

 0, બધી જ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ તથા દરેક પ્રાકૃતિક સંખ્યાની વિરોધી સંખ્યાને સમાવતા સમૂહને પૂર્ણાંકોનો સમૂહ કહે છે અને તેને I અથવા Z દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

આમ, I અથવા Z {....-2, -1, 0, 1, 2, ...). ૦ એ ધન પૂર્ણાંક પણ નથી તેમજ ઋણ પૂર્ણાંક પણ નથી.

જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને 2 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે, તે સંખ્યાઓને યુગ્મ સંખ્યા કહે છે અને તેમના સમૂહને E દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, E = {2, 4, 6, ...}.

 જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને 2 વડે નિઃશેષ ભાગી ના શકાય તે સંખ્યાઓને અયુગ્મ સંખ્યા કહે છે અને તેમના સમૂહને O દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, O = {1, 3, 5,}.

1 સિવાયની કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાના અવયવો જો ફક્ત 1 અને તે સંખ્યા પોતે જ હોય, તો તેવી સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યા અથવા ફક્ત અવિભાજ્ય કહે છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહને P દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ..}.

જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને 2 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે, તે સંખ્યાઓને યુગ્મ સંખ્યા કહે છે અને તેમના સમૂહને E દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, E = {2, 4, 6, ...}.

 જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને 2 વડે નિઃશેષ ભાગી ના શકાય તે સંખ્યાઓને અયુગ્મ સંખ્યા કહે છે અને તેમના સમૂહને O દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, O = {1, 3, 5,}.

 1 સિવાયની કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાના અવયવો જો ફક્ત 1 અને તે સંખ્યા પોતે જ હોય, તો તેવી સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યા અથવા ફક્ત અવિભાજ્ય કહે છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહને P દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ..}.

જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને 2 વડે નિઃશેષ ભાગી શકાય છે, તે સંખ્યાઓને યુગ્મ સંખ્યા કહે છે અને તેમના સમૂહને E દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, E = {2, 4, 6, ...}.

 જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓને 2 વડે નિઃશેષ ભાગી ના શકાય તે સંખ્યાઓને અયુગ્મ સંખ્યા કહે છે અને તેમના સમૂહને O દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, O = {1, 3, 5,}.

 1 સિવાયની કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યાના અવયવો જો ફક્ત 1 અને તે સંખ્યા પોતે જ હોય, તો તેવી સંખ્યાને અવિભાજ્ય સંખ્યા અથવા ફક્ત અવિભાજ્ય કહે છે. અવિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહને P દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ..}.

યુગ્મ સંખ્યાઓ પૈકી ફક્ત 2 જ અવિભાજ્ય સંખ્યા છે.

2એ સૌથી નાની અવિભાજ્ય સંખ્યા છે અને જાન્યુઆરી 2019 સુધીમાં શોધાયેલ સૌથી મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યા 2^82589933– 1 છે. જે 24,862,048 અંકો ધરાવતી સંખ્યા છે. તેનાથી પણ મોટી અવિભાજ્ય સંખ્યાની શોધ અવિરતપણે ચાલુ જ છે.

 1  સિવાયની કોઈ પણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા જો અવિભાજ્ય ના હોય, તો તેને વિભાજ્ય સંખ્યા અથવા ફક્ત વિભાજ્ય કહે છે. વિભાજ્ય સંખ્યાઓના સમૂહને C દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

 આમ, C = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14,...}.

 ખાસ નોંધ લેવી કે, 1 એ વિભાજ્ય સંખ્યા પણ નથી કે અવિભાજ્ય સંખ્યા પણ નથી.